№9. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ=8, cosA = \( \frac{2\sqrt{19}}{19} \). Найдите высоту СН.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с \( AC = BC \). Основание \( AB = 8 \). Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно, \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AHC \). В нём \( AH = 4 \), \( AC \) — гипотенуза, \( CH \) — катет (искомая высота), \( \angle A \) — угол при основании.

Нам дан \( \cos A = \frac{2\sqrt{19}}{19} \). В прямоугольном треугольнике \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).

Отсюда найдём длину гипотенузы \( AC \):

\( AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{4}{\frac{2\sqrt{19}}{19}} = \frac{4 \cdot 19}{2\sqrt{19}} = \frac{2 \cdot 19}{\sqrt{19}} = 2\sqrt{19} \).

Теперь в прямоугольном треугольнике \( \triangle AHC \) по теореме Пифагора найдём высоту \( CH \):

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

\( (2\sqrt{19})^2 = 4^2 + CH^2 \).

\( 4 \cdot 19 = 16 + CH^2 \).

\( 76 = 16 + CH^2 \).

\( CH^2 = 76 - 16 = 60 \).

\( CH = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \).

Ответ: \( 2\sqrt{15} \).