№10. Решите уравнение: \( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{3}{\cos x} + 2 = 0 \)

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \frac{1}{\cos x} \). Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{\cos x} \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y + 2 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \).

\( y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \).

Случай 1: \( y_1 = 2 \) \( \Rightarrow \frac{1}{\cos x} = 2 \) \( \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \).

Решением этого уравнения являются:

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( y_2 = 1 \) \( \Rightarrow \frac{1}{\cos x} = 1 \) \( \Rightarrow \cos x = 1 \).

Решением этого уравнения являются:

\( x = 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Объединяя оба случая, получаем:

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).