№9. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 16, cosA = $$\frac{2\sqrt{7}}{7}$$. Найдите высоту CH.

Решение:

Поскольку \( AC = BC \), треугольник \( \triangle ABC \) является равнобедренным. Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание \( AB \), также является медианой. Следовательно, \( AH = HB = \frac{AB}{2} \).

1. Найдем длину \( AH \):

\[ AH = \frac{16}{2} = 8 \]

2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle AHC \) (так как \( CH \) — высота), мы знаем \( AH = 8 \) и \( \cos A = \frac{2\sqrt{7}}{7} \).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).

Выразим \( AC \):

\[ AC = \frac{AH}{\cos A} = \frac{8}{\frac{2\sqrt{7}}{7}} = 8 \cdot \frac{7}{2\sqrt{7}} = \frac{56}{2\sqrt{7}} = \frac{28}{\sqrt{7}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{7} \):

\[ AC = \frac{28\sqrt{7}}{7} = 4\sqrt{7} \]

3. Теперь найдем высоту \( CH \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle AHC \) с помощью теоремы Пифагора: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

\[ CH^2 = AC^2 - AH^2 \]\[ CH^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8^2 \]\[ CH^2 = (16 \cdot 7) - 64 \]\[ CH^2 = 112 - 64 \]\[ CH^2 = 48 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \]

Ответ: \( 4\sqrt{3} \)