№10. Решите уравнение: $$\sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = \cos x$$

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{2} + x) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = \cos x \) воспользуемся тригонометрическими формулами приведения.

1. Формула приведения для синуса:

\[ \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin(\pi + \frac{\pi}{2} + x) = -\sin(\frac{\pi}{2} + x) = -\cos x \]

2. Формула приведения для косинуса:

\[ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2} - x) = -\cos(\frac{\pi}{2} - x) = -\sin x \]

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ \sqrt{2} \cdot (-\cos x) \cdot (-\sin x) = \cos x \]\[ \sqrt{2} \cos x \sin x = \cos x \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ \sqrt{2} \cos x \sin x - \cos x = 0 \]

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (\sqrt{2} \sin x - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас два случая:

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \], где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( \sqrt{2} \sin x - 1 = 0 \)

\[ \sqrt{2} \sin x = 1 \]\[ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Это стандартное значение для синуса. Решения:

\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]\[ x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \], где \( n \) — любое целое число.

Объединяя оба случая, получаем:

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.