№4. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением $$S(t) = \frac{1}{3} t^3 + 2t^2 + 2$$. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3с, если S - путь (м), t - время (с).

Решение:

Скорость \( v(t) \) является первой производной от пути \( S(t) \) по времени \( t \). Ускорение \( a(t) \) является второй производной от пути \( S(t) \) по времени \( t \) (или первой производной от скорости).

1. Найдем скорость \( v(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3} t^3 + 2t^2 + 2 \right) \]\[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 2 \cdot 2t + 0 \]\[ v(t) = t^2 + 4t \]

2. Найдем ускорение \( a(t) \):

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + 4t) \]\[ a(t) = 2t + 4 \]

3. Вычислим скорость и ускорение в момент времени \( t = 3 \) с:

Скорость:

\[ v(3) = (3)^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21 \] м/с.

Ускорение:

\[ a(3) = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10 \] м/с².

Ответ: скорость 21 м/с, ускорение 10 м/с².