№6. Найдите значение выражения: $$81^{\frac{1}{2}+\log_9 2}$$

Решение:

Для вычисления значения выражения \( 81^{\frac{1}{2}+\log_9 2} \) воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Сначала преобразуем показатель степени:

\[ \frac{1}{2} + \log_9 2 \]

Применим свойство \( a^{\log_a b} = b \) и \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Переведем логарифм по основанию 9 к основанию 3, так как \( 81 = 3^4 \) и \( 9 = 3^2 \).

\[ \log_9 2 = \frac{\log_3 2}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2}{2} = \frac{1}{2} \log_3 2 = \log_3 (2^{\frac{1}{2}}) = \log_3 \sqrt{2} \]

Теперь подставим это в показатель степени:

\[ \frac{1}{2} + \log_9 2 = \frac{1}{2} + \log_3 \sqrt{2} \]

Это не совсем упрощает вычисление. Попробуем другой подход. Используем свойство \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \).

\[ 81^{\frac{1}{2}+\log_9 2} = 81^{\frac{1}{2}} \cdot 81^{\log_9 2} \]

Вычислим каждую часть отдельно:

1. \( 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \).

2. Для \( 81^{\log_9 2} \), заметим, что \( 81 = 9^2 \).

\[ 81^{\log_9 2} = (9^2)^{\log_9 2} = 9^{2 \cdot \log_9 2} \]

Используем свойство \( m \log_a b = \log_a (b^m) \).

\[ 9^{2 \cdot \log_9 2} = 9^{\log_9 (2^2)} = 9^{\log_9 4} \]

Теперь используем свойство \( a^{\log_a b} = b \).

\[ 9^{\log_9 4} = 4 \]

Теперь перемножим результаты:

\[ 9 \cdot 4 = 36 \]

Ответ: 36