9. Решите неравенство (методом интервалов) \(\frac{(x+5)(x-7)}{3x-1} \ge 0\)

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( (x+5)(x-7) = 0 \) ⇒ \( x = -5 \) или \( x = 7 \).
• Знаменатель: \( 3x-1 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{1}{3} \).

Отметим эти точки на числовой оси. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x = \frac{1}{3} \) — выколотая точка. Корни числителя \( x = -5 \) и \( x = 7 \) включаются в решение, так как неравенство нестрогое.

Расставим знаки на интервалах:

• При \( x > 7 \) (например, \( x=10 \)): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \)
• При \( \frac{1}{3} < x < 7 \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \)
• При \( -5 < x < \frac{1}{3} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 \)
• При \( x < -5 \) (например, \( x=-6 \)): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \)

Нам нужны интервалы, где выражение \( \ge 0 \).

\( x \in [-5; \frac{1}{3}) \cup [7; +\infty) \)

Ответ: \( [-5; \frac{1}{3}) \cup [7; +\infty) \)