8. Найдите все первообразные для функции f(x) = x³ + 4 + \(\frac{2}{\cos^2 x}\)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \), нужно проинтегрировать \( f(x) \):

\( F(x) = \int f(x) dx = \int (x^3 + 4 + \frac{2}{\cos^2 x}) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

• \( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \)
• \( \int 4 dx = 4x \)
• \( \int \frac{2}{\cos^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2 \operatorname{tg} x \)

Суммируем результаты и добавляем константу интегрирования \( C \):

\( F(x) = \frac{x^4}{4} + 4x + 2 \operatorname{tg} x + C \)

Ответ: \( F(x) = \frac{x^4}{4} + 4x + 2 \operatorname{tg} x + C \)