2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³ - 2, y = 0, x = 3, x = 2.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^3 - 2 \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = 2 \) и \( x = 3 \), нужно вычислить определенный интеграл от функции \( y = x^3 - 2 \) на отрезке \( [2, 3] \).

Сначала проверим, пересекает ли график \( y = x^3 - 2 \) ось \( y = 0 \) на отрезке \( [2, 3] \).

\( x^3 - 2 = 0 \) ⇒ \( x^3 = 2 \) ⇒ \( x = \sqrt[3]{2} \).

Так как \( \sqrt[3]{2} \) примерно равно 1.26, эта точка не попадает на отрезок \( [2, 3] \). На всем отрезке \( [2, 3] \) значение \( x^3 - 2 \) положительно, так как при \( x=2 \), \( y = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 > 0 \).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\( S = \int_{2}^{3} (x^3 - 2) dx \)

Найдем первообразную:

\( \int (x^3 - 2) dx = \frac{x^4}{4} - 2x \)

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2 \right) \]

\[ S = \left( \frac{81}{4} - 6 \right) - \left( \frac{16}{4} - 4 \right) \]

\[ S = \left( \frac{81}{4} - \frac{24}{4} \right) - (4 - 4) \]

\[ S = \frac{57}{4} - 0 = \frac{57}{4} \]

\( \frac{57}{4} = 14.25 \)

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{57}{4}\) или \(14.25\) квадратных единиц.