4. Вычислите log₆ 512 + log₆ 6

Решение:

Воспользуемся свойством логарифмов \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \).

\( \log_6 512 + \log_6 6 = \log_6 (512 \cdot 6) = \log_6 3072 \)

Заметим, что \( 6^1 = 6 \), \( 6^2 = 36 \), \( 6^3 = 216 \), \( 6^4 = 1296 \), \( 6^5 = 7776 \). Число 3072 не является целой степенью 6. Возможно, в условии была опечатка.

Если предположить, что в задании было \( \log_6 512 \cdot 6 \) или \( \log_6 \frac{512}{6} \), то результат был бы другим. Или возможно, \( \log_2 \) вместо \( \log_6 \), так как \( 512 = 2^9 \).

Предположим, что имелось в виду \( \log_6 512 + \log_6 \frac{6}{512} \), тогда:

\( \log_6 512 + \log_6 \frac{6}{512} = \log_6 (512 \cdot \frac{6}{512}) = \log_6 6 = 1 \)

Если предположить, что в условии была ошибка и должно было быть \( \log_6 216 + \log_6 6 \), тогда:

\( \log_6 216 + \log_6 6 = 3 + 1 = 4 \)

Ответ: Исходя из предоставленного условия, \( \log_6 3072 \). Если предполагается целочисленный ответ, возможно, в условии опечатка. Если предположить, что это \( \log_6 512 \cdot \log_6 6 \), то \( \log_6 512 \cdot 1 \) = \( \log_6 512 \). Если \( \log_6 512 + \log_6 \frac{6}{512} \) = 1.