9. Решите логарифмическое уравнение: log₃(4x - 7) = -4

Решение:

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). Применим это к нашему уравнению:

\( 3^{-4} = 4x - 7 \)

Вычислим \( 3^{-4} \):

\( 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \)

Теперь уравнение имеет вид:

\( \frac{1}{81} = 4x - 7 \)

Перенесём 7 в левую часть:

\( \frac{1}{81} + 7 = 4x \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{1}{81} + \frac{7 \times 81}{81} = 4x \)

\( \frac{1}{81} + \frac{567}{81} = 4x \)

\( \frac{568}{81} = 4x \)

Разделим обе части на 4:

\( x = \frac{568}{81 \times 4} \)

\( x = \frac{142}{81} \)

Проверим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положителен, то есть \( 4x - 7 > 0 \).

\( 4 \times \frac{142}{81} - 7 = \frac{568}{81} - \frac{567}{81} = \frac{1}{81} > 0 \). ОДЗ выполнено.

Ответ: x = 142/81.