6. Решите показательное уравнение: (1/4)^(2x-1) = 1/64

Решение:

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Основание \( \frac{1}{4} \) можно представить как \( 4^{-1} \) или \( (\frac{1}{2})^2 \). Основание \( \frac{1}{64} \) можно представить как \( 4^{-3} \) или \( (\frac{1}{2})^6 \).

Возьмём основание \( 4 \):

\( \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3} \)

Тогда исходное уравнение примет вид:

\( (\frac{1}{4})^{2x-1} = 4^{-3} \)

Так как \( \frac{1}{4} = 4^{-1} \), подставим это:

\( (4^{-1})^{2x-1} = 4^{-3} \)

При возведении степени в степень, показатели перемножаются:

\( 4^{(-1)(2x-1)} = 4^{-3} \)

\( 4^{-2x+1} = 4^{-3} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -2x + 1 = -3 \)

\( -2x = -3 - 1 \)

\( -2x = -4 \)

\( x = \frac{-4}{-2} \)

\( x = 2 \)

Ответ: x = 2.