9. Решите логарифмическое уравнение: \( \log_4 (4x - 8) = -4 \)

Решение:

1. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). Применим это к нашему уравнению: \( 4^{-4} = 4x - 8 \).
2. Вычислим \( 4^{-4} \): \( 4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256} \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{1}{256} = 4x - 8 \).
4. Перенесём -8 в левую часть: \( \frac{1}{256} + 8 = 4x \).
5. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1}{256} + \frac{8 \times 256}{256} = 4x \)
6. \( \frac{1 + 2048}{256} = 4x \)
7. \( \frac{2049}{256} = 4x \)
8. Разделим обе части на 4: \( x = \frac{2049}{256 \times 4} \)
9. \( x = \frac{2049}{1024} \)
10. Проверим область допустимых значений: \( 4x - 8 > 0 \). \( 4 \times \frac{2049}{1024} - 8 = \frac{2049}{256} - \frac{2048}{256} = \frac{1}{256} > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \( x = \frac{2049}{1024} \).