9. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 38. Найдите объём куба.

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \).

Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины. Пусть эта вершина — \( A \), и рёбра — \( AB \) и \( AD \). Середины этих рёбер — \( M \) (на \( AB \)) и \( N \) (на \( AD \)).

Плоскость параллельна третьему ребру, выходящему из той же вершины, например, \( AA_1 \).

Эта плоскость отсекает от куба треугольную призму. Основанием этой призмы является прямоугольный треугольник \( AMN \).

Длины катетов этого треугольника равны половине ребра куба:

• \( AM = \frac{a}{2} \)
• \( AN = \frac{a}{2} \)

Площадь основания призмы: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \times AM \times AN = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8} \).

Высота призмы равна длине третьего ребра, параллельного плоскости, то есть длине ребра куба \( a \).

Объем треугольной призмы \( V_{призмы} = S_{осн} \times a = \frac{a^2}{8} \times a = \frac{a^3}{8} \).

По условию, объём призмы равен 38:

• \( \frac{a^3}{8} = 38 \)
• \( a^3 = 38 \times 8 \)
• \( a^3 = 304 \)

Объём куба равен \( a^3 \).

Ответ: 304