4. Шар, объём которого равен 2π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Решение:

Если шар вписан в куб, то диаметр шара равен длине ребра куба.

• Объем шара вычисляется по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).
• По условию, \( V_{шара} = 2\pi \).
• Приравниваем: \( \frac{4}{3} \pi R^3 = 2\pi \)
• Делим обе части на \( \pi \): \( \frac{4}{3} R^3 = 2 \)
• Умножаем обе части на \( \frac{3}{4} \): \( R^3 = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
• Найдем радиус: \( R = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
• Диаметр шара: \( d = 2R = 2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
• Длина ребра куба \( a \) равна диаметру шара: \( a = 2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)
• Объем куба вычисляется по формуле: \( V_{куба} = a^3 \).
• \( V_{куба} = \left( 2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)^3 = 2^3 \times \left( \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right)^3 = 8 \times \frac{3}{2} = 4 \times 3 = 12 \)

Ответ: 12