7. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания (квадрата):

• Сторона основания \( a = 24 \).
• Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 24^2 = 576 \).

2. Площадь боковой поверхности:

• Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.
• Высота боковой грани (апофема пирамиды) \( h_{бок} \) находится по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой боковой грани и половиной стороны основания.
• Половина стороны основания = \( \frac{24}{2} = 12 \).
• Боковое ребро \( l = 20 \).
• \( h_{бок}^2 + 12^2 = 20^2 \)
• \( h_{бок}^2 + 144 = 400 \)
• \( h_{бок}^2 = 400 - 144 = 256 \)
• \( h_{бок} = \sqrt{256} = 16 \)
• Площадь одной боковой грани \( S_{гр} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 24 \times 16 = 12 \times 16 = 192 \).
• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 4 \times S_{гр} = 4 \times 192 = 768 \).

3. Общая площадь поверхности:

• \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 576 + 768 = 1344 \).

Ответ: 1344