9. Найдите точку экстремума функции у = 8х² + 32x - 6

Решение:

Точка экстремума функции находится там, где её производная равна нулю.

Сначала найдём производную функции \( y = 8x^2 + 32x - 6 \):

\( y' = \frac{d}{dx}(8x^2) + \frac{d}{dx}(32x) - \frac{d}{dx}(6) \)

\( y' = 8 \cdot 2x + 32 - 0 \)

\( y' = 16x + 32 \)

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\( 16x + 32 = 0 \)

\( 16x = -32 \)

\( x = \frac{-32}{16} \)

\( x = -2 \)

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдём вторую производную:

\( y'' = \frac{d}{dx}(16x + 32) = 16 \)

Так как \( y'' = 16 > 0 \), то точка \( x = -2 \) является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума находится при \( x = -2 \).