3. Решите уравнения: a) 2ˣ = 32 б) (⅓)ˣ = 64

Решение:

а) \( 2^x = 32 \)

Представим 32 как степень двойки:

\[ 2^x = 2^5 \]

Приравнивая показатели степеней, получаем:

\( x = 5 \)

б) \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = 64 \)

Представим \( \frac{1}{3} \) как \( 3^{-1} \) и \( 64 \) как \( 4^3 \) или \( 2^6 \). Однако, прямое приведение к одной степени затруднительно.

Возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей:

\[ \log_3 \left( \frac{1}{3} \right)^x = \log_3 64 \]\[ x \log_3 \left( 3^{-1} \right) = \log_3 64 \]\[ x (-1) = \log_3 64 \]\[ -x = \log_3 64 \]\[ x = -\log_3 64 \]

Это можно также записать как \( x = -\log_3 (4^3) = -3 \log_3 4 \).

Ответ: а) \( x = 5 \); б) \( x = -\log_3 64 \) (или \( x = -3\log_3 4 \)).