8. С помощью производной исследуйте функцию и укажите промежуток, на котором функция возрастает \( y = 2x - 8x^2 \)

Решение:

Чтобы найти промежуток возрастания функции, нужно найти, где её производная положительна.

Найдем производную функции \( y = 2x - 8x^2 \):

\( y' = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(8x^2) \)

\( y' = 2 - 16x \)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 2 - 16x = 0 \)

\( 2 = 16x \)

\( x = \frac{2}{16} \)

\( x = \frac{1}{8} \)

Исследуем знак производной на интервалах \( (-\infty, \frac{1}{8}) \) и \( (\frac{1}{8}, +\infty) \):

• Возьмем любое число меньше \( \frac{1}{8} \), например, \( x = 0 \): \( y'(0) = 2 - 16(0) = 2 \). Так как \( y' > 0 \), функция возрастает на этом интервале.
• Возьмем любое число больше \( \frac{1}{8} \), например, \( x = 1 \): \( y'(1) = 2 - 16(1) = -14 \). Так как \( y' < 0 \), функция убывает на этом интервале.

Ответ: Функция возрастает на промежутке \( (-\infty, \frac{1}{8}) \).