9. Найдите tg (α + 5π/2), если tga = 0,4 и α ∈ (π/2 ; π)

Решение:

1. Преобразуем аргумент тангенса: \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \).

Так как функция \( g(x) \) имеет период \( \pi \), то \( g(x + k\pi) = g(x) \) для любого целого \( k \).

\( g(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = g(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}) = g(\alpha + \frac{\pi}{2}) \).

Используем формулу приведения \( g(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\ctg(\alpha) \).

Итак, \( g(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = -\ctg(\alpha) \).

2. Найдем \( \ctg(\alpha) \) из \( g(\alpha) \):

Мы знаем, что \( \ctg(\alpha) = \frac{1}{ g(\alpha)} \).

\[ \ctg(\alpha) = \frac{1}{0.4} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Примечание: Данные условия \( \alpha \in (\frac{\pi}{2} ; \pi) \) подтверждают, что \( g \alpha \) отрицателен, если бы \( g \alpha = 0.4 \) было дано, это означало бы, что \( \alpha \) находится в III четверти. Если \( \alpha \) во II четверти, то \( g \alpha \) должен быть отрицательным. Предположим, что \( g \alpha = -0.4 \) было имелось в виду, тогда \( \ctg \alpha = \frac{1}{-0.4} = -2.5 \).

Если \( g \alpha = -0.4 \):

\( \ctg(\alpha) = -2.5 \).

Тогда \( g(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = -\ctg(\alpha) = -(-2.5) = 2.5 \).

Если \( g \alpha = 0.4 \) (как в условии) и \( \alpha \in (\frac{\pi}{2} ; \pi) \), это противоречие. Исходя из условия \( g \alpha = 0.4 \), решим задачу, игнорируя принадлежность \( \alpha \) к четверти, так как \( g \alpha \) положительный, что соответствует I или III четверти. Если \( \alpha \in (\frac{\pi}{2} ; \pi) \), то \( g \alpha \) должен быть отрицательным. Предположим, что \( g \alpha = 0.4 \) является верным значением, и \( \alpha \) находится в подходящей четверти.

\[ g(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = -\ctg(\alpha) = -\frac{1}{0.4} = -2.5 \]

Ответ: -2.5.