9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения \( 3^{1+2\cos x \sin x} = 3\sqrt{3} \)

Решение:

1. Упростим правую часть уравнения:

\[ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \]

2. Приравняем показатели степеней:

\[ 1 + 2\cos x \sin x = \frac{3}{2} \]

Используем формулу двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \):

\[ 1 + \sin(2x) = \frac{3}{2} \]\[ \sin(2x) = \frac{3}{2} - 1 \]\[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \]

3. Найдём решения для \( 2x \):

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \) имеет вид \( \alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( \alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Значит, для \( 2x \):

• \( 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \pi k \)
• \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \)

4. Найдем наибольший отрицательный корень.

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k \).

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{12} \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \) (отрицательный).

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \).

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{12} \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{12} - \pi = \frac{5\pi - 12\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \) (отрицательный).

Сравним отрицательные корни: \( -\frac{11\pi}{12} \) и \( -\frac{7\pi}{12} \).

Так как \( \frac{11}{12} > \frac{7}{12} \), то \( -\frac{11\pi}{12} < -\frac{7\pi}{12} \).

Наибольший отрицательный корень — \( -\frac{7\pi}{12} \).

Ответ: \( -\frac{7\pi}{12} \).