4. Сократите дробь \(\frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}\)

Решение:

Представим числитель как разность кубов:

\[ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2 \]

Используем формулу разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \), где \( x = a^{\frac{1}{3}} \) и \( y = b^{\frac{1}{3}} \).

\[ a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \]

Теперь подставим это в дробь:

\[ \frac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} \]

Сократим общий множитель \( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \):

\[ a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \]

Ответ: \(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\).