8. Найдите точки графика функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x \), в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

1. Найдём производную функции:

\[ f'(x) = \left( x^3 - 6x^2 + 12x \right)' \]\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 \]

2. Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 12x + 12 = 0 \]

Разделим обе части на 3:

\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

Это полный квадрат:

\[ (x-2)^2 = 0 \]

Отсюда \( x = 2 \).

3. Найдём значение функции в этой точке:

\[ f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 12(2) \]\[ f(2) = 8 - 6(4) + 24 \]\[ f(2) = 8 - 24 + 24 \]\[ f(2) = 8 \]

Точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет координаты (2; 8).

Ответ: (2; 8).