9. ДОПОЛНИТЕЛЬНО. На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_0$$. Найдите значение производной в точке $$x_0$$.

Решение:

1. Интерпретация графика:

На рисунке изображен график некоторой функции $$y=f(x)$$ и прямая, являющаяся касательной к этому графику в точке с абсциссой $$x_0$$. На оси абсцисс отмечена точка $$x_0$$. Из рисунка видно, что $$x_0$$ находится между 0 и 1, примерно в районе 0.5. Точка касания на графике $$f(x)$$ примерно соответствует координатам (0.5, -2).

2. Значение производной в точке касания:

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.

3. Определение углового коэффициента касательной:

Угловой коэффициент касательной можно найти, выбрав две точки на прямой касательной и вычислив разность ординат, деленную на разность абсцисс: $$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$.

Найдем на прямой касательной две удобные точки. Точка с абсциссой $$x_0$$ (примерно 0.5) имеет ординату примерно -2. Эта точка, очевидно, принадлежит касательной. Обозначим ее $$P_1 \approx (0.5, -2)$$.

Найдем другую точку на прямой. Попробуем найти точку, где касательная пересекает ось Y. По графику, это происходит примерно в точке (0, -1.5).

Чтобы получить более точное значение, посмотрим на точки, где касательная пересекает сетку.

Видно, что прямая касательная проходит через точку (0, -1.5) (приблизительно). Также, если продолжить прямую, она проходит через точку (1, -1). Возьмем эти две точки: $$P_1 = (0, -1.5)$$ и $$P_2 = (1, -1)$$.

4. Вычисление углового коэффициента:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - (-1.5)}{1 - 0} = \frac{-1 + 1.5}{1} = \frac{0.5}{1} = 0.5 \]

Проверим с другой парой точек:

Прямая проходит через точку (-1, -2). Возьмем $$P_3 = (-1, -2)$$ и $$P_2 = (1, -1)$$.

\[ k = \frac{-1 - (-2)}{1 - (-1)} = \frac{-1 + 2}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Проверим, соответствует ли $$x_0$$ на графике этому значению.

Если $$x_0 \approx 0.5$$, то $$f(0.5) \approx -2$$.

Уравнение касательной: $$y = k(x-x_0) + f(x_0)$$.

Используя $$k=0.5$$ и точку $$(0, -1.5)$$, получим уравнение касательной: $$y = 0.5x - 1.5$$.

Проверим точку касания $$x_0 \approx 0.5$$: $$y = 0.5(0.5) - 1.5 = 0.25 - 1.5 = -1.25$$.

Это значение $$y ≈ -1.25$$ не совпадает с примерным значением $$y ≈ -2$$ на графике для $$x_0 ≈ 0.5$$.

Пересмотрим точки на графике.

Точка, где $$x_0 ≈ 0.5$$, соответствует значению $$f(x_0) ≈ -2$$.

Прямая касательная проходит через точки:

1. Примерно $$(0.5, -2)$$ (точка касания)

2. На оси Y, примерно $$(0, -1.5)$$

3. На оси X, примерно $$(3, 0)$$

4. При $$x = -1$$, $$y ≈ -3$$.

Вычислим угловой коэффициент, используя точки $$(0, -1.5)$$ и $$(3, 0)$$:

\[ k = \frac{0 - (-1.5)}{3 - 0} = \frac{1.5}{3} = 0.5 \]

Вычислим угловой коэффициент, используя точки $$(0, -1.5)$$ и $$(-1, -3)$$:

\[ k = \frac{-3 - (-1.5)}{-1 - 0} = \frac{-3 + 1.5}{-1} = \frac{-1.5}{-1} = 1.5 \]

Есть противоречие. Пересмотрим точки на сетке.

Смотрим на прямую касательную. Она явно проходит через точки:

1. $$x = 0$$, $$y = -1.5$$ (пересечение с осью Y)

2. $$x = 1$$, $$y = -1$$ (прямая поднимается на 0.5 при увеличении x на 1)

3. $$x = 2$$, $$y = 0$$ (прямая поднимается на 0.5 при увеличении x на 1)

4. $$x = 3$$, $$y = 0.5$$

Вычислим угловой коэффициент, используя точки $$(0, -1.5)$$ и $$(2, 0)$$:

\[ k = \frac{0 - (-1.5)}{2 - 0} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \]

Давайте проверим точку $$x_0$$ на графике. $$x_0$$ находится между 0 и 1. Если $$x_0 ≈ 0.5$$, то $$f(x_0) ≈ -2$$.

Если угловой коэффициент $$k = 0.75$$, то уравнение касательной: $$y = 0.75(x - x_0) + f(x_0)$$.

Если $$x_0 ≈ 0.5$$ и $$f(x_0) ≈ -2$$, то $$y = 0.75(x - 0.5) - 2 = 0.75x - 0.375 - 2 = 0.75x - 2.375$$.

Эта прямая должна проходить через $$(2, 0)$$. $$0.75(2) - 2.375 = 1.5 - 2.375 = -0.875$$. Не проходит.

Давайте внимательнее посмотрим на точки, через которые проходит касательная.

Прямая проходит через:

1. $$(0, -1.5)$$

2. $$(2, 0)$$

3. $$(x_0 ≈ 0.5, y_0 ≈ -2)$$

Вычисляем угловой коэффициент по точкам $$(0, -1.5)$$ и $$(2, 0)$$:

\[ k = \frac{0 - (-1.5)}{2 - 0} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \]

Теперь проверим, соответствует ли точка касания $$(x_0, f(x_0))$$ этому угловому коэффициенту.

Если $$k = 0.75$$, то $$f'(x_0) = 0.75$$.

На графике видно, что $$x_0$$ находится между 0 и 1, и $$f(x_0)$$ находится между -1.5 и -2.

Попробуем найти значение $$x_0$$ по графику. Если $$x_0 ≈ 0.5$$, то $$f(x_0) ≈ -2$$.

Уравнение касательной: $$y = kx + b$$. Мы знаем, что $$b = -1.5$$ (пересечение с осью Y).

Значит, $$y = kx - 1.5$$.

Точка $$(2, 0)$$ должна удовлетворять этому уравнению: $$0 = k(2) - 1.5 ⇒ 2k = 1.5 ⇒ k = 0.75$$.

Итак, угловой коэффициент касательной равен 0.75.

Значение производной в точке $$x_0$$ равно угловому коэффициенту касательной.

Производная в точке $$x_0$$ равна 0.75.

Посмотрим на $$x_0$$ на графике. $$x_0$$ - это точка, где касательная касается графика. Она расположена примерно посередине между 0 и 1, скажем, 0.5. Значение $$f(0.5)$$ примерно -2.

Давайте проверим, если $$f'(x) = 0.75$$, то $$f(x)$$ может быть такой, что $$f'(0.5) = 0.75$$.

Исходя из рисунка, $$x_0$$ - это точка касания. Значение производной в точке $$x_0$$ равно угловому коэффициенту касательной.

Касательная проходит через точки (0, -1.5) и (2, 0).

\[ k = \frac{0 - (-1.5)}{2 - 0} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \]

Значение производной в точке $$x_0$$ равно угловому коэффициенту касательной.

Ответ: 0.75