8. Найдите точки графика функции $$f(x) = x^2 + 3x^2$$, в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Решение:

1. Условие параллельности касательной оси абсцисс:

Касательная параллельна оси абсцисс, когда ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. То есть, нужно найти точки, где $$f'(x) = 0$$.

2. Упростим функцию:

$$f(x) = x^2 + 3x^2 = 4x^2$$.

3. Найдем производную функции $$f(x) = 4x^2$$:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2) \]

\[ f'(x) = 4 \cdot 2x \]

\[ f'(x) = 8x \]

4. Приравняем производную к нулю и найдем $$x$$:

\[ 8x = 0 \]

\[ x = 0 \]

5. Найдем соответствующее значение $$y$$ (координату точки на графике):

Подставим $$x=0$$ в исходную функцию $$f(x) = 4x^2$$:

\[ f(0) = 4(0)^2 = 0 \]

6. Точка графика:

Таким образом, точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, имеет координаты (0, 0).

Ответ: (0, 0)