7. Найдите значения х, при которых значения производной функции $$f(x) = \frac{1}{1-x}$$ отрицательны.

Решение:

1. Найдем производную функции $$f(x) = \frac{1}{1-x}$$

Можно переписать функцию как $$f(x) = (1-x)^{-1}$$.

Используем правило производной сложной функции:

\[ f'(x) = -1(1-x)^{-2} \cdot (-1) \]

\[ f'(x) = (1-x)^{-2} \]

\[ f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \]

2. Определим, при каких значениях $$x$$ производная отрицательна.

Мы получили, что $$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$$.

Знаменатель $$(1-x)^2$$ всегда больше нуля для всех $$x$$, кроме $$x=1$$ (где функция не определена).

Числитель равен 1, что также больше нуля.

Следовательно, дробь $$\frac{1}{(1-x)^2}$$ всегда положительна при всех допустимых значениях $$x$$ (т.е. при $$x
e 1$$).

3. Вывод:

Значения производной функции $$f(x) = \frac{1}{1-x}$$ никогда не бывают отрицательными.

Ответ: Значений x, при которых производная отрицательна, не существует.