9. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 10 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем пирамиды.

Решение:

Дано:
Правильная треугольная пирамида.
Боковое ребро \( l = 10 \) см.
Угол наклона бокового ребра к основанию \( \alpha = 30^{\circ} \).

Найти:
Объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Найдём высоту пирамиды (H):
   В правильной пирамиде боковое ребро наклонено к основанию под углом, который образует это ребро с его проекцией на плоскость основания. Проекцией бокового ребра на основание является отрезок, соединяющий вершину основания с центром описанной около основания окружности. В правильном треугольнике центр описанной окружности является точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис).
   Обозначим вершину пирамиды как P, вершину основания как A, центр основания как O. Тогда \( \triangle PAO \) — прямоугольный треугольник с прямым углом в O. Боковое ребро \( PA = l = 10 \) см, \( \angle PAO = \alpha = 30^{\circ} \).
   Высота пирамиды \( H = PO \).
   \( H = l \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.
2. Найдём радиус окружности, описанной около основания (R):
   \( R = l \cdot \cos(\alpha) = 10 \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
3. Найдём сторону основания (a) правильного треугольника:
   Связь между радиусом описанной окружности \( R \) и стороной правильного треугольника \( a \): \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
   \( a = R \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15 \) см.
4. Найдём площадь основания (S_осн):
   Площадь правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
   \( S_{осн} = \frac{15^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{225 \sqrt{3}}{4} \) см².
5. Найдём объем пирамиды:
   Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).
   \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{225 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} \)
   \( V = \frac{225 \sqrt{3} \cdot 5}{12} \text{ см}^3 \)
   \( V = \frac{75 \sqrt{3} \cdot 5}{4} \text{ см}^3 \)
   \( V = \frac{375 \sqrt{3}}{4} \) см³.

Ответ: \( \frac{375 \sqrt{3}}{4} \) см³.