6. Вычислите интеграл: ∫_{-1}^{1} (x² + 5x) dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-1}^{1} (x^2 + 5x) dx \) найдём первообразную функции \( f(x) = x^2 + 5x \) и применим формулу Ньютона-Лейбница.

Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \).

Первообразная для \( 5x \) равна \( 5 \cdot \frac{x^2}{2} \).

Таким образом, первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \]

Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \]\[ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + \frac{5 \cdot (-1)^2}{2} = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} \]

По формуле Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{-1}^{1} (x^2 + 5x) dx = F(1) - F(-1) \]\[ = \left( \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} \right) \]\[ = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} \]\[ = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \]\[ = \frac{2}{3} \]

Ответ: \( \frac{2}{3} \).