9. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$$.

Решение:

Из предыдущего пункта у нас есть два семейства решений: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число. Нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \).

Рассмотрим первое семейство: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• Если \( n = 0 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} \). Это значение меньше \( \pi \).
• Если \( n = 1 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{-\pi + 12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \). Значение \( \frac{11\pi}{6} = 1.833\pi \). Отрезок \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \) примерно \( \pi < x < 1.5\pi \). \( \frac{11\pi}{6} \) не входит в этот интервал.

Рассмотрим второе семейство: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \).

• Если \( n = 0 \), то \( x = \frac{7\pi}{6} \). Проверим, входит ли это значение в интервал \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \):

  \[ \pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} \]

  \( \frac{6\pi}{6} < \frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} \)

  Это неравенство верно, значит, \( x = \frac{7\pi}{6} \) является корнем, принадлежащим заданному отрезку.

• Если \( n = 1 \), то \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi + 12\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \). Это значение больше \( \frac{3\pi}{2} \).
• Если \( n = -1 \), то \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). Это значение меньше \( \pi \).

Единственный корень, принадлежащий заданному отрезку, это \( \frac{7\pi}{6} \).

Ответ: \(\frac{7\pi}{6}\).