9. а) Решите уравнение: $$\cos 2x + 5\sin x + 2 = 0$$

Решение:

Чтобы решить уравнение, приведём его к одному тригонометрическому виду. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

1. Подставим формулу в уравнение:

   \[ (1 - 2\sin^2 x) + 5\sin x + 2 = 0 \]

2. Упростим уравнение:

   \[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 3 = 0 \]

   Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( \sin^2 x \) был положительным:

   \[ 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 \]

3. Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение:

   \[ 2t^2 - 5t - 3 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]

5. Найдём корни уравнения для \( t \):

   \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

   \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

6. Вернёмся к замене \( t = \sin x \):

   У нас два случая:

   а) \( \sin x = 3 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

   б) \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

   Найдём значения \( x \) для этого уравнения. Углы, синус которых равен \( -\frac{1}{2} \), это \( -\frac{\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{6} \).

   Общие решения:

   \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \]

   \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \]

   где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).