6. Найдите значение производной функции в точке: $$y = 3\cos x - \sin x$$, $$x_0 = \pi$$.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( y = 3\cos x - \sin x \).

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( \cos x \) равна \( -\sin x \).
• Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная \( c \cdot f(x) \) равна \( c \cdot f'(x) \).

Производная \( y' \) от \( y = 3\cos x - \sin x \) равна:

\[ y' = (3\cos x)' - (\sin x)' \]

\[ y' = 3(-\sin x) - \cos x \]

\[ y' = -3\sin x - \cos x \]

Теперь подставим значение \( x_0 = \pi \) в производную:

\[ y'(\pi) = -3\sin(\pi) - \cos(\pi) \]

Известно, что \( \sin(\pi) = 0 \) и \( \cos(\pi) = -1 \).

\[ y'(\pi) = -3(0) - (-1) \]

\[ y'(\pi) = 0 + 1 \]

\[ y'(\pi) = 1 \]

Ответ: 1.