2. Решите уравнение: $$\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$ и указать наименьший положительный корень уравнения в градусах.

Решение:

Решим уравнение \( \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \).

Перенесём \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в правую часть:

\[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Уравнение \( \sin x = a \) имеет два основных решения:

\[ x = \arcsin(a) + 2\pi n \]

\[ x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n \]

где \( n \) — целое число.

Для \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \).

Следовательно, решения:

\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \]

Теперь переведём решения в градусы, зная, что \( \pi \) радиан = 180 градусов:

\[ \frac{\pi}{4} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ \]

\[ \frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ \]

Общие решения в градусах:

\[ x = 45^\circ + 360^\circ n \]

\[ x = 135^\circ + 360^\circ n \]

Наименьший положительный корень будет при \( n = 0 \) для первого случая.

Ответ: 45°.