9. а) Решите уравнение: cos 2x + 5 sinx + 2 = 0

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

\[ (1 - 2\sin^2 x) + 5\sin x + 2 = 0 \]

\[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 3 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \sin x \). Уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - 5t - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 \]

\[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

\[ t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Возвращаемся к замене \( t = \sin x \).

\( \sin x = 3 \) — решений нет, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

\( \sin x = -\frac{1}{2} \) — решения:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \text{ и } x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \, \text{ (или } \, x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k) \, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)