10.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2x + \(\frac{8}{x}\) на отрезке [-5; -1].

Решение:

1. Найдём производную функции: \( y' = 2 - \frac{8}{x^2} \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 2 - \frac{8}{x^2} = 0 \) \(\, \Rightarrow \, \frac{8}{x^2} = 2 \, \Rightarrow \, x^2 = 4 \, \Rightarrow \, x = \pm 2 \).
3. Из найденных критических точек \( x = -2 \) попадает в отрезок \( [-5; -1] \). Точка \( x = 2 \) не входит в отрезок.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
• При \( x = -5 \): \( y(-5) = 2(-5) + \frac{8}{-5} = -10 - 1.6 = -11.6 \).
• При \( x = -2 \): \( y(-2) = 2(-2) + \frac{8}{-2} = -4 - 4 = -8 \).
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1) + \frac{8}{-1} = -2 - 8 = -10 \).
5. Сравним полученные значения: -11.6, -8, -10.

Наибольшее значение равно -8, наименьшее значение равно -11.6.

Ответ: Наибольшее значение: -8. Наименьшее значение: -11.6.