9. (2 балла) Решите уравнение (x + 3)² - x = (x - 2)(x² + x)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем квадрат двучлена в левой части:
   \( (x+3)^2 = x^2 + 2 x x 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \)
2. Шаг 2: Раскрываем скобки во второй части уравнения:
   \( (x - 2)(x^2 + x) = x(x^2 + x) - 2(x^2 + x) = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 2x \)
3. Шаг 3: Теперь уравнение выглядит так:
   \( x^2 + 6x + 9 - x = x^3 - x^2 - 2x \)
4. Шаг 4: Приводим подобные слагаемые в левой части:
   \( x^2 + 5x + 9 = x^3 - x^2 - 2x \)
5. Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
   \( 0 = x^3 - x^2 - 2x - x^2 - 5x - 9 \)
   \( 0 = x^3 - 2x^2 - 7x - 9 \)
6. Шаг 6: Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-9): ±1, ±3, ±9.
   Проверим \( x = -1 \): \( (-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 9 = -1 - 2(1) + 7 - 9 = -1 - 2 + 7 - 9 = -5 \) (не подходит)
   Проверим \( x = 3 \): \( (3)^3 - 2(3)^2 - 7(3) - 9 = 27 - 2(9) - 21 - 9 = 27 - 18 - 21 - 9 = 9 - 21 - 9 = -12 - 9 = -21 \) (не подходит)
   Проверим \( x = -3 \): \( (-3)^3 - 2(-3)^2 - 7(-3) - 9 = -27 - 2(9) + 21 - 9 = -27 - 18 + 21 - 9 = -45 + 21 - 9 = -24 - 9 = -33 \) (не подходит)
7. Шаг 7: Пересмотрим исходное уравнение:
   \( (x + 3)^2 - x = (x - 2)(x^2 + x) \)
   Возможно, в условии есть опечатка, так как кубическое уравнение \( x^3 - 2x^2 - 7x - 9 = 0 \) не имеет простых целочисленных корней.
   Если предположить, что во второй части вместо \( x^2+x \) было \( x+1 \), то:
   \( (x+3)^2 - x = (x-2)(x+1) \)
   \( x^2 + 6x + 9 - x = x^2 + x - 2x - 2 \)
   \( x^2 + 5x + 9 = x^2 - x - 2 \)
   \( 5x + 9 = -x - 2 \)
   \( 6x = -11 \)
   \( x = -11/6 \)
8. Шаг 8: Если второй множитель был \( x^2-x \):
   \( (x-2)(x^2-x) = x(x^2-x) - 2(x^2-x) = x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x = x^3 - 3x^2 + 2x \)
   Тогда: \( x^2 + 5x + 9 = x^3 - 3x^2 + 2x \)
   \( x^3 - 4x^2 - 3x - 9 = 0 \)
9. Шаг 9: Исходя из данного уравнения, и учитывая, что это задание из теста, вероятно, подразумевается более простое решение или ошибка в записи. Однако, решая как есть:
   \( x^3 - 2x^2 - 7x - 9 = 0 \).
   Проверим еще раз делители -9: ±1, ±3, ±9.
   Если \( x = -1 \), то -1 - 2 + 7 - 9 = -5.
   Если \( x = 1 \), то 1 - 2 - 7 - 9 = -17.
   Если \( x = 3 \), то 27 - 18 - 21 - 9 = -21.
   Если \( x = -3 \), то -27 - 18 + 21 - 9 = -33.
10. Шаг 10: Если предполагать, что правая часть уравнения должна была упроститься до линейного вида, то, возможно, была ошибка в множителях.
    Если мы предположим, что \( x^2+x \) это \( x \), то:
    \( (x+3)^2 - x = (x-2)x \)
    \( x^2 + 6x + 9 - x = x^2 - 2x \)
    \( x^2 + 5x + 9 = x^2 - 2x \)
    \( 5x + 9 = -2x \)
    \( 7x = -9 \)
    \( x = -9/7 \)
11. Шаг 11: Учитывая, что это задание, скорее всего, имеет более простое решение, и стандартные тесты редко содержат сложные кубические уравнения без явных корней, возможно, в условии опечатка.
    Примем, что уравнение должно было привести к линейному.
    Если исходить из того, что \( x^3 \) должно было сократиться, то это невозможно.
12. Шаг 12: Вернемся к исходному уравнению и перепроверим раскрытие скобок.
    Левая часть: \( x^2 + 6x + 9 - x = x^2 + 5x + 9 \)
    Правая часть: \( (x - 2)(x^2 + x) = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 2x \)
    Уравнение: \( x^2 + 5x + 9 = x^3 - x^2 - 2x \)
    Перенесем всё в правую часть: \( x^3 - x^2 - 2x - x^2 - 5x - 9 = 0 \)
    \( x^3 - 2x^2 - 7x - 9 = 0 \)
    Без дополнительной информации или уточнения условия, точное решение этого кубического уравнения затруднительно для формата теста.
    Однако, если предполагать, что задача корректна и имеет одно решение, то оно будет иррациональным или комплексным.
    Если есть предположение, что \( x^3 \) должно сократиться, то это подразумевает ошибку в условии.
13. Шаг 13: Попробуем искать корень \( x = -1 \) снова, так как это частый корень в задачах.
    \( (-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 9 = -1 - 2(1) + 7 - 9 = -1 - 2 + 7 - 9 = -5 \).
    Ошибка подтверждена.
14. Шаг 14: Если принять, что уравнение имеет решение \( x = -3 \), то \( (-3)^3 - 2(-3)^2 - 7(-3) - 9 = -27 - 18 + 21 - 9 = -33 \)
15. Шаг 15: Из-за сложности кубического уравнения, предполагаем, что в задании есть ошибка. Если бы, например, первая скобка была \( (x-3)^2 \), то:
    \( x^2 - 6x + 9 - x = x^3 - x^2 - 2x \)
    \( x^2 - 7x + 9 = x^3 - x^2 - 2x \)
    \( x^3 - 2x^2 + 5x - 9 = 0 \)
    Если бы правая часть была \( (x-2)(x^2-x) \), то
    \( x^3 - 3x^2 + 2x \)
    \( x^2 + 5x + 9 = x^3 - 3x^2 + 2x \)
    \( x^3 - 4x^2 - 3x - 9 = 0 \)
16. Шаг 16: Проверим, является ли \( x = -1 \) решением уравнения \( x^3 - 2x^2 - 7x - 9 = 0 \) снова:
    \( (-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 9 = -1 - 2 + 7 - 9 = -5 \)
    Проверим, является ли \( x = -3 \) решением:
    \( (-3)^3 - 2(-3)^2 - 7(-3) - 9 = -27 - 18 + 21 - 9 = -33 \)
17. Шаг 17: В учебных тестах часто встречаются уравнения, где \( x^3 \) сокращается. Если бы, например, было \( x^3+x^2 \) вместо \( x^3-x^2 \), то:
    \( x^2 + 5x + 9 = x^3 + x^2 - 2x \)
    \( 0 = x^3 - 7x - 9 \).
    Это тоже не упрощает задачу.
18. Шаг 18: Окончательный вывод: уравнение, представленное как \( (x + 3)^2 - x = (x - 2)(x^2 + x) \), после раскрытия скобок и упрощения приводит к кубическому уравнению \( x^3 - 2x^2 - 7x - 9 = 0 \), которое не имеет простых целочисленных корней и не решается стандартными методами школьной программы без использования численных методов или специальных формул для кубических уравнений. Наиболее вероятно, что в условии задания имеется опечатка.
    Если бы, например, уравнение было
    \( (x+1)^2 - x = (x-2)(x+1) \)
    \( x^2+2x+1-x = x^2+x-2x-2 \)
    \( x^2+x+1 = x^2-x-2 \)
    \( x+1 = -x-2 \)
    \( 2x = -3 \)
    \( x = -3/2 \)
19. Шаг 19: Ввиду невозможности получить простой ответ, отвечаем, что уравнение приводит к кубическому уравнению.

Ответ: Уравнение приводится к кубическому уравнению x³ - 2x² - 7x - 9 = 0, которое не имеет простых целочисленных корней. Возможно, в условии задания имеется опечатка.