9. (1 балл) Найдите производную функции y = 1/4 x⁴ - 1/3 x³ + 1/2 x² - 1 в точке x=3:

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 1 \).
2. Используем правило нахождения производной степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и свойства производной: \( (C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x) \), \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \).
3. Производная \( y' \) будет: \[ y' = \frac{1}{4}(4x^3) - \frac{1}{3}(3x^2) + \frac{1}{2}(2x) - 0 \]
4. Упростим: \( y' = x^3 - x^2 + x \).
5. Теперь найдем значение производной в точке \( x = 3 \): \[ y'(3) = 3^3 - 3^2 + 3 \]
6. \( y'(3) = 27 - 9 + 3 \)
7. \( y'(3) = 18 + 3 = 21 \).

Ответ: 21