9. (1 балл) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО + ОВ.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются в точке О и делятся пополам. Также диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Пусть \(AC = 16\) и \(BD = 12\). Тогда:

• \(AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 16 = 8\)
• \(BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 12 = 6\)

Векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OB}\) перпендикулярны, так как диагонали ромба перпендикулярны. Вектор \(\vec{AO}\) направлен вдоль одной диагонали, а вектор \(\vec{OB}\) — вдоль другой.

Длина вектора \(\vec{AO}\) равна \(AO = 8\). Длина вектора \(\vec{OB}\) равна \(OB = 6\).

Сумма векторов \(\vec{AO} + \vec{OB}\) равна вектору \(\vec{AB}\) по правилу треугольника. Длина вектора \(\vec{AB}\) равна длине стороны ромба AB.

Найдем длину стороны ромба AB, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOB\):

\[ AB^2 = AO^2 + OB^2 \]\[ AB^2 = 8^2 + 6^2 \]\[ AB^2 = 64 + 36 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Длина вектора \(\vec{AO} + \vec{OB}\) равна длине вектора \(\vec{AB}\), которая равна длине стороны ромба.

Ответ: 10.