5. (1 балл) Найдите значение cos a, tg a, ctg a, если известно, что sin a = 1/5, π/2 < α< π

Решение:

Поскольку \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), угол \(\alpha\) находится во второй четверти. Во второй четверти синус положительный, косинус отрицательный, тангенс и котангенс отрицательные.

1. Найдем \(cos \alpha\) по основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \]

Так как \(\alpha\) во второй четверти, \(cos \alpha < 0\):

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \]

2. Найдем \(tg \alpha\) по формуле \(tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):

\[ tg \alpha = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}} = \frac{1}{5} \times \left(-\frac{5}{2\sqrt{6}}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{6}} \]

Рационализируем знаменатель:

\[ tg \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12} \]

3. Найдем \(ctg \alpha\) по формуле \(ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}\) или \(ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\):

\[ ctg \alpha = \frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \times 5 = -2\sqrt{6} \]

Ответ: \(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(tg \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{12}\), \(ctg \alpha = -2\sqrt{6}\).