8. Вычислите определенный интеграл: $$\int_1^2 (4x^3 - 2x + 1) dx$$

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = 4x^3 - 2x + 1 \).
2. Первообразная \( F(x) = \int (4x^3 - 2x + 1) dx = 4 \int x^3 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx \).
3. Используя правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), получим:
4. \( F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^4 - x^2 + x + C \).
5. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
6. \( \int_1^2 (4x^3 - 2x + 1) dx = [x^4 - x^2 + x]_1^2 \).
7. Подставим верхний предел \( x = 2 \): \( F(2) = 2^4 - 2^2 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14 \).
8. Подставим нижний предел \( x = 1 \): \( F(1) = 1^4 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \).
9. Вычислим разность: \( F(2) - F(1) = 14 - 1 = 13 \).

Ответ: 13.