7. Найдите производную: $$\left(\frac{\ln x}{x}\right)'$$

Решение:

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

В данном случае \( u = \ln x \) и \( v = x \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).
• \( v' = (x)' = 1 \).

Подставим найденные значения в формулу:

\[ \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \]

Ответ: \(\frac{1 - \ln x}{x^2}\).