12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: $$y = \frac{27}{4}x^4 - x + 2$$

Решение:

1. Найдем производную функции \( y' \):
2. \( y' = \left(\frac{27}{4}x^4 - x + 2\right)' = \frac{27}{4} \cdot 4x^3 - 1 = 27x^3 - 1 \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. \( 27x^3 - 1 = 0 \)
5. \( 27x^3 = 1 \)
6. \( x^3 = \frac{1}{27} \)
7. \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \).
8. Итак, критическая точка одна: \( x = \frac{1}{3} \).
9. Определим знаки производной на интервалах \( (-\infty, \frac{1}{3}) \) и \( (\frac{1}{3}, \infty) \).
10. Возьмем точку из \( (-\infty, \frac{1}{3}) \), например, \( x = 0 \): \( y'(0) = 27(0)^3 - 1 = -1 \). Производная отрицательна, значит, функция убывает на этом интервале.
11. Возьмем точку из \( (\frac{1}{3}, \infty) \), например, \( x = 1 \): \( y'(1) = 27(1)^3 - 1 = 26 \). Производная положительна, значит, функция возрастает на этом интервале.
12. Точка \( x = \frac{1}{3} \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
13. Найдем значение функции в точке минимума:
14. \( y(\frac{1}{3}) = \frac{27}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4 - \frac{1}{3} + 2 = \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{81} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{12} - \frac{4}{12} + \frac{24}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} \).

Ответ:

• Промежутки монотонности:
  • Функция убывает на интервале \( (-\infty, \frac{1}{3}) \).
  • Функция возрастает на интервале \( (\frac{1}{3}, \infty) \).
• Точка экстремума:
  • Точка минимума \( x = \frac{1}{3} \), \( y_{min} = \frac{7}{4} \).