4. Найдите значение выражения: $$\sin(-\frac{25\pi}{3})\cos(\frac{35\pi}{6})$$

Решение:

1. Найдем значение \( \sin(-\frac{25\pi}{3}) \). Так как \( \sin(-x) = -\sin(x) \), имеем \( -\sin(\frac{25\pi}{3}) \).
2. Период синуса равен \( 2\pi \). \( \frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} \). Следовательно, \( \sin(\frac{25\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
3. Таким образом, \( \sin(-\frac{25\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
4. Найдем значение \( \cos(\frac{35\pi}{6}) \). \( \frac{35\pi}{6} = 5\pi + \frac{5\pi}{6} \). Так как \( \cos(x + \pi) = -\cos(x) \), то \( \cos(5\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{5\pi}{6}) \).
5. \( \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
6. Следовательно, \( \cos(\frac{35\pi}{6}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
7. Теперь перемножим полученные значения: \( \sin(-\frac{25\pi}{3})\cos(\frac{35\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \(-\frac{3}{4}\).