8. Вычислите определенный интеграл: ∫₁² (3x² - 12x + 1) dx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_1^2 (3x^2 - 12x + 1) dx \) найдем первообразную подынтегральной функции, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную \( F(x) \) для \( f(x) = 3x^2 - 12x + 1 \): \[ F(x) = \int (3x^2 - 12x + 1) dx = 3\frac{x^3}{3} - 12\frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - 6x^2 + x + C \]
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( a = 1 \) и \( b = 2 \). Для удобства примем \( C = 0 \), так как константа сократится.
3. Вычислим \( F(2) \): \( F(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 2 = 8 - 6(4) + 2 = 8 - 24 + 2 = -14 \).
4. Вычислим \( F(1) \): \( F(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 1 = 1 - 6(1) + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 \).
5. Вычислим значение интеграла: \( F(2) - F(1) = -14 - (-4) = -14 + 4 = -10 \).

Ответ: -10