12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = (48/5)x⁵ - 3x + 5

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции \( y = \frac{48}{5} x^5 - 3x + 5 \) найдем ее первую производную, приравняем к нулю и исследуем знаки производной.

1. Найдем первую производную функции: \( y' = \left( \frac{48}{5} x^5 - 3x + 5 \right)' \). Используем правило \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \( (C)' = 0 \) для константы. \( y' = \frac{48}{5} \cdot 5x^4 - 3 + 0 = 48x^4 - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 48x^4 - 3 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 48x^4 = 3 \implies x^4 = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \).
4. Извлечем корень четвертой степени: \( x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2} \).
5. Критические точки: \( x_1 = -\frac{1}{2} \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \).
6. Исследуем знаки производной на интервалах:
• Интервал \( (-\infty, -1/2) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 48(-1)^4 - 3 = 48 - 3 = 45 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-1/2, 1/2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = 48(0)^4 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (1/2, \infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 48(1)^4 - 3 = 48 - 3 = 45 > 0 \). Функция возрастает.
7. Определим промежутки монотонности:
• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1/2] \) и \( [1/2, \infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1/2, 1/2] \).
8. Определим точки экстремума:
• В точке \( x = -1/2 \) производная меняет знак с '+' на '-', значит, это точка максимума.
• В точке \( x = 1/2 \) производная меняет знак с '-' на '+', значит, это точка минимума.
9. Найдем значения функции в точках экстремума:
• При \( x = -1/2 \): \( y = \frac{48}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^5 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 5 = \frac{48}{5} \left(-\frac{1}{32}\right) + \frac{3}{2} + 5 = -\frac{48}{160} + \frac{3}{2} + 5 = -\frac{3}{10} + \frac{15}{10} + \frac{50}{10} = \frac{-3+15+50}{10} = \frac{62}{10} = 6.2 \).
• При \( x = 1/2 \): \( y = \frac{48}{5} \left(\frac{1}{2}\right)^5 - 3\left(\frac{1}{2}\right) + 5 = \frac{48}{5} \left(\frac{1}{32}\right) - \frac{3}{2} + 5 = \frac{48}{160} - \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{10} - \frac{15}{10} + \frac{50}{10} = \frac{3-15+50}{10} = \frac{38}{10} = 3.8 \).

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty, -1/2] \) и \( [1/2, \infty) \); функция убывает на \( [-1/2, 1/2] \).
• Точки экстремума:
• Максимум в точке \( x = -1/2 \), \( y_{max} = 6.2 \).
• Минимум в точке \( x = 1/2 \), \( y_{min} = 3.8 \).