5. Вычислите предел: lim (2n+1)/(3n-1) при n→∞

Решение:

Чтобы вычислить предел последовательности \( \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n-1} \), разделим числитель и знаменатель на \( n \), наибольшую степень \( n \) в знаменателе.

1. Разделим числитель и знаменатель на \( n \): \[ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}} \]
2. При \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \).
3. Подставим это значение: \[ \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} \]

Ответ: \( \frac{2}{3} \)