8. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, проведена высота CH к гипотенузе AB.

По условию: AC = 35, CH = 14√6.

В прямоугольном треугольнике ACH, угол CHA = 90°.

Найдем гипотенузу AH в треугольнике ACH, используя теорему Пифагора:

\[ AH^2 = AC^2 - CH^2 \]

\[ AH^2 = 35^2 - (14\sqrt{6})^2 = 1225 - (196 \times 6) = 1225 - 1176 = 49 \]

\[ AH = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. У нас есть катет AC и часть гипотенузы AH. Нам нужно найти sin ∠ABC. Угол ABC это угол B.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} \]

Чтобы найти AB, нам нужно найти BH. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH связана с отрезками гипотенузы AH и BH соотношением:

\[ CH^2 = AH \times BH \]

\[ (14\sqrt{6})^2 = 7 \times BH \]

\[ 1176 = 7 \times BH \]

\[ BH = \frac{1176}{7} = 168 \]

Теперь найдем гипотенузу AB:

\[ AB = AH + BH = 7 + 168 = 175 \]

Теперь можем найти sin ∠ABC (sin B):

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{35}{175} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{35}{175} = \frac{35}{5 \times 35} = \frac{1}{5} \]

Ответ: 1/5