7. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5, AC = 9. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Нам дан катет AC, а не BC. Сначала найдем BC, используя теорему Пифагора или другие тригонометрические соотношения.

Известно, что \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \sqrt{1 - 16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5 \)

Теперь используем тангенс:

\[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \]

И \( \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} \)

Подставляем известные значения:

\[ \frac{4}{3} = \frac{BC}{9} \]

\[ BC = \frac{4}{3} \times 9 = 4 \times 3 = 12 \]

Теперь найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \]

\[ AB = \sqrt{225} = 15 \]

Ответ: 15