№8. В прямоугольном параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) рёбра \( AB \), \( BC \) и диагональ боковой грани \( BC_1 \) равны соответственно 7, 3 и \( 3\sqrt{5} \). Найдите объём параллелепипеда \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \).

Решение:

Обозначим ребра параллелепипеда: \( AB = a \), \( BC = b \), \( AA_1 = c \). Объем параллелепипеда равен \( V = a \cdot b \cdot c \).

Из условия задачи имеем:

• \( a = AB = 7 \)
• \( b = BC = 3 \)
• Диагональ боковой грани \( BC_1 = 3\sqrt{5} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BBC_1 \). По теореме Пифагора:

\[ BC^2 + BB_1^2 = BC_1^2 \]

Заменим известные значения:

\[ 3^2 + c^2 = (3\sqrt{5})^2 \] \[ 9 + c^2 = 9 \cdot 5 \] \[ 9 + c^2 = 45 \]

Найдем \( c^2 \):

\[ c^2 = 45 - 9 \] \[ c^2 = 36 \]

Найдем \( c \):

\[ c = \sqrt{36} = 6 \]

Итак, высота параллелепипеда \( AA_1 = BB_1 = c = 6 \).

Теперь вычислим объем параллелепипеда:

\[ V = a \cdot b \cdot c = 7 \cdot 3 \cdot 6 = 21 \cdot 6 = 126 \]

Ответ: Объём параллелепипеда равен 126.