№7. Решите неравенство: \( \left(\frac{1}{16}\right)^{3x-2} \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} \)

Решение:

Для решения неравенства приведем основания степени к одному виду. Заметим, что \( \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \).

1. Подставим \( \left(\frac{1}{4}\right)^2 \) вместо \( \frac{1}{16} \):

\[ \left(\,\left(\frac{1}{4}\right)^2 \,\right)^{3x-2} \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} \]

2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^{2(3x-2)} \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} \]

\( \left(\frac{1}{4}\right)^{6x-4} \ge \left(\frac{1}{4}\right)^{x+2} \)

3. Так как основание степени \( \frac{1}{4} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 6x - 4 \le x + 2 \]

4. Решим полученное линейное неравенство:

\[ 6x - x \le 2 + 4 \]
\[ 5x \le 6 \]
\[ x \le \frac{6}{5} \]

Ответ: \( x \le \frac{6}{5} \).