№10. Решите уравнение: \( 3\sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) - \cos(4\pi + x) = 0 \)

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения.

1. Формула приведения для \( \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \):

\( \frac{3\pi}{2} \) — это 270 градусов. Угол \( \frac{3\pi}{2} - x \) находится в третьей четверти, где синус отрицательный. При переходе через \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) функция \( \sin \) меняется на \( \cos \).

Следовательно, \( \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x \).

2. Формула для \( \cos(4\pi + x) \):

Функция \( \cos \) имеет период \( 2\pi \). Значит, \( \cos(4\pi + x) = \cos(2 \cdot 2\pi + x) = \cos x \).

3. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

\[ 3(-\cos x)^2 - \cos x = 0 \]

\( 3\cos^2 x - \cos x = 0 \)

4. Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (3\cos x - 1) = 0 \]

5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) \( \cos x = 0 \)

Это выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

б) \( 3\cos x - 1 = 0 \)

\( 3\cos x = 1 \)

\( \cos x = \frac{1}{3} \)

Это выполняется при \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) или \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \), где \( n \) и \( k \) — целые числа.